論理演算と論理回路

指導者向けの公開補足

学習本文に加えて、指導の視点・背景・授業での確かめ方を示します。どなたでも読めます。

指導の焦点

AND・OR・NOTを日常語の曖昧さから切り離し、入力と出力の対応で確かめる。「または」に両方が真の場合を含めるか明示する。

一歩踏み込んだ背景

真理値表は、すべての入力の組合せを列挙した仕様として読める。回路の図を暗記させるだけでなく、異なる式が同じ出力になるか比較できる。

授業での確かめ方

入室条件を架空の二つの条件で表し、4通りすべてを検査する。条件の否定を変えたときの違いを表にし、反例で誤りを説明させる。

制度・規格等は本文末尾の参考資料も確認してください。

JSFiddleでコードを試す

JSFiddleは、ブラウザーでHTML・CSS・JavaScriptを入力して実行できるサービスです。短い動作確認から始められます。

新しい編集画面を開きます。JavaScriptは通常のJavaScriptを選び、外部ライブラリは追加しません。
HTML欄にはページの本文、CSS欄には見た目、JavaScript欄には処理を書きます。HTML欄に<html>や<body>は不要です。JavaScript欄に<script>は付けません。
DOMを使う例では、JavaScriptの実行タイミングを「On Load」「On DOM Ready」または「No wrap - bottom of body」にします。
「Run」を押してResult欄を確認します。書き換えたら再びRunを押します。

console.logの結果は通常、ページではなく開発者ツールのコンソールに出ます。このサイトの計算例をResult欄で読みたいときは、HTML欄に次を入れます。

<pre id="output"></pre>

JavaScript欄には次を入れ、console.log(2 + 3);の行を、試したいコード一つに置き換えます。独立した例を複数まとめて貼らないでください。

{
  const output = document.getElementById("output");
  const console = {
    log(...values) {
      output.textContent += values.join(" ") + "\n";
    }
  };
  console.log(2 + 3);
}

Runを押すと「5」と表示されます。外側の波括弧の中だけで表示用のconsoleを用意しているため、ブラウザー本来のコンソールは変更しません。

HTMLとJavaScriptの両方を載せた実習例は、この表示用コードで囲まず、それぞれの欄へ分けて貼り付けます。保存・共有時は公開範囲を確認し、個人情報やパスワードを入力しないでください。コードは手元にも残しましょう。

NAS・GitHub・CodePenなど、作業環境の選び方

この単元でできるようになること

基本的な論理演算の出力を真理値表で求められる。
文章で示された条件を、曖昧さのない論理式に直せる。
一桁の二進数の加算を、論理回路と結び付けられる。

二つの状態で判断を表す

論理演算では、条件が成り立つ真と、成り立たない偽を扱う。回路の説明では真を1、偽を0として表すことが多い。実物の回路では電圧の範囲などに対応させるが、ここでは電気の細部を省き、入力と出力の関係だけに注目する。

二つの入力があるなら、組合せは00、01、10、11の四通りである。真理値表は、そのすべてについて出力を列挙した表だ。代表的な場面だけを試すのではなく、条件を満たさない場面も含めて調べる道具になる。

A	B	AND	OR	XOR
0	0	0	0	0
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
1	1	1	1	0

ANDは両方が真のときだけ真。ORは少なくとも一方が真なら真であり、両方が真の場合も含む。XORはちょうど一方だけが真のときに真になる。NOTは入力が一つで、真と偽を逆転する。ORとXORの違いは、二つとも真という一行に現れる。

ANDの出力をNOTで反転したものがNAND、ORの出力を反転したものがNORである。たとえば入力がともに0なら、NANDは1、NORも1になる。入力がともに1なら、両者は0になる。異なる入力ではNANDが1、NORが0なので、同じ回路ではない。回路を組み合わせる際は、中間の出力を次の回路の入力として順番に追う。

文章を分解してから結ぶ

架空の実験室で、「予約があり、かつ担当者がいる場合に利用できる」とする。予約の有無をA、担当者の有無をBにすれば、利用可能はA AND Bとなる。「予約がある、または当日券がある」ならORだが、「二種類の割引を重ねられない」といった規則は別の条件が必要だ。

条件に使う言葉は、測定や記録で判断できるように具体化する。「空いていそう」ではなく「利用中の人数が定員未満」とすれば、何を比較するかが決まる。自然な文章のまま式に直す前に、各入力が何を意味するかを揃えよう。

for (const reserved of [false, true]) {
  for (const staffed of [false, true]) {
    const allowed = reserved && staffed;
    console.log(Number(reserved), Number(staffed), Number(allowed));
  }
}

出力は順に 0 0 0、0 1 0、1 0 0、1 1 1 である。JavaScriptの && がANDに相当し、ここでは入力を真偽値に限定している。Number は表示のため真偽値を0か1へ変換している。

否定の範囲とド・モルガンの法則

「予約と担当者の両方がそろうわけではない」は、少なくとも一方が欠けることである。これは「予約がない、または担当者がいない」と同じになる。一方、「予約も担当者もいない」は両方の否定をANDで結ぶため、意味が違う。

一般にNOT(A AND B)は(NOT A) OR (NOT B)と等しく、NOT(A OR B)は(NOT A) AND (NOT B)と等しい。これがド・モルガンの法則である。記号を機械的に書き換えるだけでなく、真理値表の各行で出力が一致することを確かめれば、否定の範囲を理解できる。

論理から一桁の足し算へ

二進数の一桁同士を足すと、0+0は0、0+1と1+0は1、1+1は二進数の10になる。結果の下の桁は、入力が異なるときだけ1なのでXORに対応する。次の桁への繰り上がりは、両方が1のときだけ1なのでANDになる。この二つを組み合わせたものが半加算器である。

半加算器は前の桁から来る繰り上がりを入力に持たない。複数桁を本格的に足すには、その繰り上がりも扱う全加算器などを組み合わせる。論理回路が判断専用なのではなく、演算にも使われることがここから分かる。

たとえば二進数11と01を足すなら、下の桁は1+1で和0、繰り上がり1になる。上の桁では1+0にその繰り上がり1も加え、再び和0、繰り上がり1となる。全体の結果は100である。一桁ごとの入力と出力を接続することで、複数桁の計算を構成できる。

注意： JavaScriptの & と | はビット単位の演算で、&& と || とは異なる。また && や || は一般には真偽値以外を返すこともある。この例では真偽値だけを入力するため、論理表と直接対応できる。

用語

用語	意味
真理値表	入力の全組合せと出力を対応させた表
AND	両方が真のとき真になる演算
OR	少なくとも一方が真なら真になる演算
XOR	ちょうど一方だけが真なら真になる演算
半加算器	一桁同士の和と繰り上がりを求める回路

確認問題

AとBがともに1のとき、ORとXORの出力はそれぞれいくつか。
「予約も担当者もいない」と「両方そろってはいない」を区別できる入力例を一つ挙げよう。
一桁の二進数1と1を半加算器に入力すると、和の桁と繰り上がりはどうなるか。

問1の解答例を見る

ORは1、XORは0。ORは少なくとも一方が1なら1になるが、XORは一方だけが1のときに1になる。

問2の解答例を見る

予約が1、担当者が0の場合。「予約も担当者もいない」は偽だが、「両方そろってはいない」は真になる。

問3の解答例を見る

和の桁は0、繰り上がりは1。二進数では1＋1＝10であり、半加算器ではXORで和、ANDで繰り上がりを求める。